基于二叉树模型的期权定价

　　基于二叉树模型的期权定价基于二叉树模子的期权订价目次摘要11配景先容12本文的主旨第二章准备学问21期权22二叉树设施221设施概述222二叉树设施的好处和差池223危险中性订价23blackscholes期权订价模子231模子由来232危险中性订价233模子假设234blackscholes期权订价公式第三章本论31期权订价的二叉树模子311参数确定312资产代价树形11313通过树形倒推11314代数外达式1232例子模仿计较和结果理解1233模子改良三叉树15第四章结论17谢辞及参考文献19谢辞19参考文献20附录22计较经过中涉及算法22摘要blackscholes期权订价模子为期权订价加倍是欧式期权订价供给了优越的解析结果而blackscholes公式是此模子的主题不过此公式并不行很好地求解出正在许众衍生模子比如亚式期权以及美式期权中的解析解

　　Black-Scholes 期权订价模子为期权订价加倍是欧式期权订价供给了优越 的解析结果，而 Black-Scholes 公式是此模子的主题，不过此公式并不行很 好地求解出正在许众衍生模子比如亚式期权以及美式期权中的解析解。二叉树方 法举动一种数值设施，同时也是图论中一种紧急设施，利用于期权订价题目 中，它有了更分外的演变。本文欺骗二叉树设施计较期权订价的数值解，用二 叉树设施迭代众次，求出较为切实的期权代价。通过 B-S 公式得出的结果与二 叉树设施获得的结论对照，理解二叉树设施模仿的好处和差池。同时，咱们还 要查究二叉树模仿的步数与预测结果和精度间的相闭，从而愈加深远清晰二叉 树设施。然而，咱们正在模子中设立了很众条款，这些都使模子离可靠境况越来 越远，咱们务必不绝进展模子，圆满模子。三叉树设施恰是二叉树设施的适合 填补。

　　金融数学这门学科是跟着金融墟市兴起后形成的一门衍生学科，举动为金 融学和数学的交叉学科，它的首要思法即是采集巨额金融墟市中的本质数据， 成立适合的数学模子并不绝举行优化，欺骗一系列确当代数学器械（比如概率 论、随机理解以及圭外辅助）查究危险资产如金融衍坐褥品的订价，同时尽可 能规避投资危险以及采选最优的消费投资政策。期权贸易举动金融衍生品中的 紧急个别，18 世纪后期正在美邦与欧洲墟市有了开始的雏形，进展初期贸易制 度以及人们对这种新兴金融产物的看法还很是有限。那时的期权首要由贸易自 营者我方提出报价然后由出资人采选购置，以是贸易自营者的报价必然会倾向 于对我方有利的代价，恰是因为这种不完全性期权贸易的进展正在当时不停受到 各样身分的束缚。到了 1973 年，横空诞生的芝加哥贸易所类型了期权合约标 准了后期贸易流程，使这种境况获得革新。

　　期权闭连的查究从这种金融衍生品出生起就起先了，金融从业者和投资者 们思要倚赖各样差别数学以及计较机器械来理解期权，思要从供求机制开导的 墟市动摇中寻找期权转移进展的湮没次序，从而使我方得回最大的利润。1973 年，Black 和 Scholes 得出的期权订价模子的映现是看待金融数学查究有巨大 事理，加倍是正在期权订价方面，它是正在金融墟市的基础规则上成立的，模子正在 提出之后又历程差别的查究职员改良，基础适当墟市的转移次序，并依此能够 对他日的期权代价举行订价查究。令许众数学家和金融学家欢娱的一点即是 Black 和 Scholes 得出的期权订价模子正在欧式期权的利用中有着本质杰出的解 析解，这一点让许众人面前一亮同时也为其它愈加杂乱的衍生品的查究打下了 优越的根源。

　　跟着这个模子的通常利用，人们察觉这个模子仍旧具有必然缺陷。正如很 众云云的预测相同，正在永久墟市大处境下这个模子也许尚有着不错的效率，然 而金融墟市越来越杂乱，纯真的数学层面上的技艺理解获得的结论往往不是那 么尽如人意，于是人们起先不绝的进展模子，向内部参与各样各样的新型变 量，从而使其愈加适当一小段工夫下特定墟市情形以获得更好的期权订价结 果。不过这又带来另一个题目，跟着模子越来越杂乱，变量越来越众，计较模 型的难度越来越大，求得解析解的境况依然很少，即操纵少许当代的数学计较 器械和软件，求解单个杂乱的微分方程也是相当花消工夫和资源的，更不必说 看待少许大的基金公司，要同时追踪上千上万只期权和股票，那么找到一个速 速况且相对精准的计较设施就显得特殊须要了。

　　操纵危险中性准则举行订价是 Black-Scholes 模子构制准则之一，此设施 使得用这个模子获得的期权代价骨子上是一个企望。其自身即是一个随机问 题，那么咱们要猜想其数值解很自然的就能够思到数值模仿的算法。二叉树方 法恰是典范的的随机模仿算法之一，其思绪懂得，且没有涉及过众杂乱运算， 是数值设施模仿的极优采选。看待计较机而言，若是采用数值模仿算法，就可 以避免直接举行少许杂乱微分方程的求数值解时无间地实行迭代轮回的题目，

　　大幅晋升计较机运算速率。这首要是基于以下原故，开始，二叉树设施简略易 懂，不需求过众的数学及统计根源，只是基于概率论以及息金外面等简略实质 的算法，此外，举动计较机模仿设施，二叉树设施经过并不杂乱，计较量相对 较小，普通只需 30 步迭代即可求得对比正确的期权代价，尚有二叉树设施作 为简略的模仿设施尚有很大的进展空间，好比三叉树以及有股息的二叉树都是 简略二叉树设施的进展。

　　期权又被叫做采选权，它是正在期货的根源上形成的一种衍生金融器械。具 体是指正在他日必然功夫能够举行交易的权益，是买对象卖方付出必然数目的金 额（权益金）后具有的正在他日一段工夫内或他日某一特定日期以事先轨则好的 代价即实行代价向卖方购置或售出必然数目的特定标的物的权益，但不负有必 须买进或卖出的仔肩。于是从素质上讲，期权的骨子上是正在金融墟市贸易中将 权益举行订价，使得权益的具有者正在轨则工夫内看待是否举行贸易，行使其权 利，而仔肩方务必践诺。正在期权的贸易中，购置期权的一方称作买方，而出售 期权的一方则叫做卖方；权益的具有者称为买方，而仔肩的继承者则被叫做卖 方。

　　期权又细分为两种：看涨期权和看跌期权。持有看涨期权的人能够正在另日 某特定工夫采选操纵该权益以某一确定代价即实行代价买入必然量的某种资 产，持有看跌期权的人则能够正在另日某特定工夫采选操纵该权益以某一特订价 格卖出必然量的某种资产。咱们平常所说的欧式期权、美式期权和由基础期权 衍生的亚式期权是按照差别品种期权行使工夫的差异而形成的。本文中，咱们 首要叙论欧式期权。欧式期权的特色为：期权持有人也即期权的长头寸方唯有 正在期权到期日此特定功夫才具采选是否行使期权。这也为咱们成立模子以及统 计计较供给了方便。

　　举一个简略的例子：投资者购置了一份股票的欧式看涨期权，期权合约外 明该合约的持有者能够正在 3 个月之后以 20 元的代价买入一份大豆。3 个月后 的履约日，一份股票的代价涨到了 22 元，那么，该合约的持有者能够践诺该 合约，以 20 元的代价买入一份股票然后再以 22 元确当时墟市价卖出，从而赚 得了 2 元的差价。

　　二叉树设施、蒙特卡洛设施以及微分方程的有限差分设施等都是期权订价 的紧急设施，个中二叉树设施是对期权和其他衍生品举行估算而普及操纵的一 种数值模仿设施。

　　Cox,Ross 和 Rubinstein 正在 1979 年提出的二叉树法是现正在较为成熟的二 叉树设施的思思根源，二叉树法中树图如下图所示，呈现衍生品资产代价正在有 效期内按必然次序或许从命的途径，从而更清楚地舆解可靠期权，况且得出的 模仿结果与 Black-Scholes 公式获得的结果是等价的，加倍是当二叉树设施的

　　步数足够大的时间，二叉树设施得出的数值解与 B-S 公式获得的解析解基础没 有不同。

　　咱们开始来叙论一步二叉树中各节点股票代价以及期权代价，假设初始 0 功夫股票代价为 S0，股票期权的代价为 f，T 呈现期权的有用期，正在期权此有 效期内，股票的代价或许会由 S0 上涨到 S0u，也有或许从 S0 下跌到 S0d，个中 u1，d1。当股票涨价时，这支股票代价增进的比率为 u-1。当股票减价时， 这支股票代价下跌的比率为 1-d。假设若是股票代价变到 S0u，相应的期权价 格为 fu；而股票代价变为 S0d 时，期权代价为 fd。结果如图所示。

　　比如，咱们将一个 X 股股票的长头寸和一份期权的短头寸构成一个贸易组合。

　　咱们可以找到一个实数 X 使妥贴前贸易组合不具有任何危险。期权到期时的价

　　无危险利率。上式呈现，正在工夫 T 当股票正在两个节点之间改变时，X 为期权价

　　所谓的危险中性订价（risk-neutral valuation）：指当对衍生品订价时，我

　　危险中性寰宇(risk-neutral world）。当然，咱们所存在的寰宇不是危险中

　　pfu (1 p) fd 的值则是期权到期日也即 T 功夫的收益正在危险中性寰宇条款下的企望值，式

　　为了说明咱们对 p 的知道是合理的，当上涨概率为 p 时，股票正在 T 时收益

　　r 给出。也即股票代价转移手脚正如当 p 为代价上涨概率时正在危险中性寰宇我

　　正在为金融查究者熟知并通常利用的 Black-Scholes 期权订价模子恰是基于默顿

　　的解。以是，正在计较 0 功夫期权代价 f 时，任何一组危险采选都能够被当做实

　　危险利率，由此用无危险利率对收益企望举行贴现求解。看待危险中性的投资 者而言，他们谢绝许用卓殊的危险换取卓殊的回报，以是正在理解时欺骗危险中

　　·不存正在无危险套利时机 ·模子查究的期权品种假定只为欧式期权 ·股票的代价遵从对数正态分散，而同时股票的收益率遵从正态分散 ·正在期权有用期内，也即到期日前，无危险利率和股票的收益变量是常量 ·无税收和贸易本钱 ·股票正在期权有用期内没有股息

　　式中的 N(x)呈现法式正态分散的概率分散函数，也即是说这一函数等于遵从 法式正态分散的随机变量其值小于 x 的概率。其余，c 呈现欧式看涨期权的价 格，而 p 则为看跌期权的代价，S0 呈现股票正在初始 0 功夫的代价，K 为期权正在 到期日的实行代价，r 呈现毗连复利的无危险利率，股票代价的动摇率由σ给 出，T 呈现从肇始功夫到实行功夫的时长。

　　Ê[max(ST K , 0)] 式中 Ê 呈现正在危险中性寰宇里的企望值。从危险中性订价设施咱们可得，欧式 看涨期权的代价等于这个企望值以无危险利率贴现后的现值，也即是说

　　正在这里咱们只叙论欧式看涨期权没有股息且无套利的境况，这是由二叉树 设施正在此条款下有着本质很是优越的解析处理议的。因为近些年金融墟市的发 展、改良和圆满，Black-Scholes 的初始模子的拟合杰出水平已不如模子刚问 世的时间，咱们不绝查究进展这个公式，同时增添各样或许参数，云云举动 B-S 公式给出的外面值与二叉树设施举行比照，这两种设施的比照使咱们辩证 的对待它们的切实性，全体理解题目，叙论当参数取值差别时，B-S 公式以及 二叉树设施的合理性，以便实时判别偏差是来自模子自身的编制偏差仍旧由二 叉树设施自身所形成的。

　　要欺骗二叉树设施举行模仿计较就需求确定模子中的 p,u 及 d。咱们 树立以及采选这三个参数的主意中最终要的即是务必包管股票代价正在工夫

　　t 内的均值以及动摇的方差都给出合理的值。因为咱们假定了危险中性 寰宇，将无危险利率 r 视为股票的收益率企望，若是资产供给收益率 q 的 收入（如股息），那么本钱增值的个别的收益率企望该当由 r-q 给出， 这意味着正在一个工夫段 t 末，资产代价的企望值为 Se(rq)t ，式中 S 为资 产正在起先时也即 0 功夫的代价。要使二叉树模子与回报企望值相对应，我 们应有

　　将资产代价正在 t 工夫内增减转移的百分比转移记为 R，那么 1R 等于 u 的 概率为 p，而其值等于 d 的概率为 1-p。由上式以及方差计较公式得

　　由于加减常数变量方差褂讪，于是 R 的方差与 1R 的方差相仿。 由股票代价遵从经过

　　S N (t, 2t) S 由此可知，当 t 很小时， 2t 近似地等于正在 t 工夫内股票代价转移百分比的 方差。以是

　　变量 a 有时也被称为增进因子。 模子中尚有很紧急的一个参数 为股票代价动摇率，闭于动摇率的计较设施有

　　期权代价与 B-S 公式的解析解来反推动摇率。咱们采选第一种设施求解：首

　　如图所示，正在工夫 0 时，股票的代价 S0 为已知；正在功夫 t 时，其价 格有两种或许的值：S0u，S0d；正在功夫 2 t 时，股票代价有三种或许的值 差异为：S0 u2 ，S0，S0 d2 ；以此类推。

　　正在普通情况下，正在功夫 i t 时，代价有取 i1 种值的或许，它们是

　　图中，计较每一节点资产代价时，采用了相闭式 u 1 ，比如，当 i=3 和 d

　　j=2 时资产代价为 S 0u2d S 0u 。其余，树中节点是重合的，即资产代价先 上涨再下跌和先下跌再上涨所得出的值是相同的。

　　通过正在期权到期日即工夫 T（树的末尾）的期权代价由反向总结 （backwards induction）的体例能够对期权举行订价。期权正在功夫T 时 的代价是已知的，比如看涨期权的代价为 max(ST K, 0) ，而看跌期权的价 格为 max(K ST, 0) ，个中 ST 为股票正在功夫T 时的代价， K 为实行代价。因

　　为咱们假定贸易爆发正在危险中性寰宇中，正在T t 功夫每一节点上的期权 价格等于将T 功夫期权价格的企望值以无危险利率 r 正在工夫区间 t 进取行 贴现。形似的，正在T 2t 功夫每一个节点上的期权价格能够将T t 功夫 的期权价格的企望值以无危险利率举行贴现来求得，并以此类推。

　　看待例子：一支无股息股票为欧式看涨期权，刻期为 5 个月，股票此刻价 格为 50 元，实行代价为 40 元，无危险利率为每年10% ，动摇率为每年 40% 。 如图（1）所示，经二叉树模仿计较得期权订价为 12.52 元，而由 BlackScholes 公式算得期权代价约为 11.65 元。

　　当上例中实行代价差异变为 50 元和 30 元时，二叉树设施模仿结果差异如 图（2）（3）所示，约为 6.09 元和 21.27 元，B-S 公式算得结果差异为 2.39 元和 21.22 元。

　　当上例中期权实行代价差异变为 60 元和 20 元时，如图（5）所示，由二 叉树模仿代价差异为 2.52 元和 30.82 元，由 Black-Scholes 公式模仿的结果 差异为-5.52 元和 30.82 元。

　　结果理解：由图（1）（2）（3）（4）（5）易妥贴期权实行代价清楚小 于股票初始代价时，二叉树设施模仿的结果与 Black-Scholes 公式算得的结果 比拟相差不大，也即是说二叉树设施模仿相对切实；然而正在较为适当看涨期权 本质境况的期权实行代价与股票初始代价相差不大或者大于股票初始代价时， 二叉树设施模仿结果与 B-S 公式算得的结果相差对比大，正在此种境况下，简略 的二叉树设施模仿无法切实地获得线）实行代价为 50 元

　　同时，从图中咱们容易看出，当二叉树模仿 20 步以内动摇较为清楚，当 模仿到 30 步旁边时，期权代价动摇依然相对较小也即代价依然维持安靖，当 模仿到 30 步自此时，代价动摇基础褂讪。于是，二叉树模仿步数树立为 30 步 对比适合，既不会对正确水平形成较大影响，又不会众做不须要的计较。

　　三叉树模子是二叉树模子的一种改良，假定正在树形的每个节点上代价 转移为上升、褂讪以及降低的概率差异是 pu，pm，和 pd，树形的步长为 t 。假定股票付出股息收益率 q，当咱们疏忽 t 的高阶项时，以下参数可 以包管树形的均值和法式差与股票代价的均值和法式差相吻合

　　三叉树的计较经过与二叉树形似，计较由树尾倒推到树的起始。正在每 一个节点，咱们需求计较阵势期权的价格与连接持有期权的价格，连接持 有期权的价格等于

　　式中 fu、fm 和 fd 差异为鄙人一步节点上对应于代价上升、取中心值和降低时的 期权代价。

　　更新模子后，连接思量之前给出的例子，咱们中心思量较为适当本质境况 的初始代价与实行代价相差不大的境况，同样的初始代价 50 元，咱们来思量 实行代价为 49 元和 51 元的境况：由三叉树模仿的境况差异如图（6）（7）所 示，其结果差异为 3.30 元和 2.80 元，而由 Black-Scholes 公式给出的结果分 别为 3.27 元和 1.51 元，能够看出当实行代价为 49 元时，是较为适当本质情 况的一种，且用两种设施模仿效率相差不大，也即三叉树模子确实较二叉树模 型愈加适当本质境况。

　　图（7）实行代价为 51 元 由以上结果能够得出，三叉树是正在二叉树根源上的有用改良，其算法改良 的首要方面即为每次股票代价动摇众供给了一种或许（股票代价维持褂讪的情 况），这使得三叉树算法模仿愈加逼近可靠境况。咱们能够思量，每次股票价 格给出的转移或许更众，这看待以企望阵势给出的期权代价来讲辱骂常症结 的，那么从外面上讲，咱们的模仿结果也会正在适当本质的境况中愈加正确，也 即与 B-S 公式计较获得的结果相差更小。若是每次股票代价给出的或许趋于无 穷大，那么咱们会获得外面上的切实期权代价，但这无疑会大大弥补咱们的计 算量。 3.4 模子反思 看待二叉树与三叉树模仿设施，咱们依然基础驾御其算法经过以及首要原 理，正在例子中，咱们维持无危险利率、动摇率以及初始代价等参数褂讪的根源 上，正在差别的实行代价下观测算法模仿的境况，同时与 B-S 公式给出的结果相 比照，咱们从外面和本质模仿境况中得出三叉树模子的上风。 达成模仿后，咱们反思悉数经过，咱们欢娱地察觉，咱们有两种期权订价 的设施（二叉树、三叉树模仿设施和 Black-Scholes 公式），当咱们固定无风 险利率、动摇率以及初始代价等参数时，设两种订价设施给出的期权代价相 等，则咱们能够反求期权实行代价，正在本质题目中，切实地给出实行代价也有 很是紧急的事理。

　　历程金融墟市的进展以及金融数学作事家对金融衍生品不绝的查究和 探究（囊括 Black-Scholes 期权订价模子的进展），这些都使得以前的经 典模子依然不再实用，计较经过不绝的变得杂乱，假使操纵计较机助助计 算也很杂乱，此时二叉树设施举动典范的数值模仿算法，举行模仿时往往 对比有用。咱们能够通过原始的 B-S 公式获得欧式期权的外面订价，同时 与二叉树模仿获得的结论相比照，咱们容易得出二叉树设施的切实订价是 对初始值以及实行代价有必然条款的，而且看待二叉树模子来讲，固然这 是一种对比卓绝的模仿设施，但其假设条款对比苛刻，这就形成咱们得出 的结果与本质期权代价的过失，跟着金融墟市以及金融衍生品的进展，我 们的计较模子也应跟着改良，文中结尾提到的三叉树即是二叉树模子的一 个紧急改良，其模仿效率正在适当本质的境况下与 B-S 公式给出的外面值更 加逼近，然而与此同时，咱们的作事以及计较机的计较量也会相对弥补， 尚有咱们能够弥补条款使得模子愈加亲切本质，比如正在期权到期日之前是 有股息的，这些改良都是查究中的紧急冲破。同时，咱们也清晰了二叉树 设施模仿步数与结果正确度间的相闭，找到了一个相对合理的模仿步数， 这对以来的二叉树模仿有辅导事理。

　　谢谢许振宇师长正在我采选课题辅导和碰到清贫时的助助； 谢谢父母不停鞭策我练习并对我卒业论文偏重和体贴；

　　谢谢田淼九年此后对我的海涵，加倍是大四一年从考研初试到复试再到 卒业计划经过中对我的煽动和援手；

　　谢谢舍友球王闫申、主任张志鑫、托神刘君敬以及段子手张鸿捷四年 来的彼此援手，彼此助助，给了我优越的练习处境和轻松高兴的存在氛

　　谢谢刘姚睿同砚正在论文冲刺阶段不停替我正在藏书楼占座； 谢谢数学学院 2011 级野球队鞭策我假使正在大四也维持体育训练；

　　谢谢友人们让我正在结尾一个学期也过着精巧而充溢的存在； 谢谢班长和学委尽职职责地下发通告鞭策我的论文实时达成；